geometri

KELILING DAN LUAS LINGKARAN
Theorema 10.5.

Bukti :
Maka C didefinisikan sebagai limit lim┬(n →∞)⁡〖p_n 〗dari parameter p_n dari segi – n yang beraturan yang digambarkan dalam lingkaran (gambar 10.15).

Gambar 10. 15
Rumus C = 2πr diambil dari Geometri Euclidean. Dari gambar 10.15 dan Trigonometri Euclidean kita melihat bahwa :

Dalam hiperbola, kita menggunakan rumus (10) dari teorema 10.3 untuk mendapatkan :

Yang dikembangkan menjadi :

(dimana p = p_n untuk kesederhanaan tripografi). Pengalian kedua sisi dengan 2n dan pengambilan lim┬(n→∞)⁡akan memberikan rumus yang akan dicari (catatan : untuk lingkaran yang jari – jarinya sangat kecil, rumus hiperbola diturunkan ke rumus Euclidean)
Teorema ini memungkinkan kita untuk menulis kembali “Aturan Sinus” (14) dalam bentuk yang valid dalam geometri netral.
Akibat (J. Bolyai)
Sinus dari sudut – sudut sebuah segitiga dari satu ke yang lain merupakan keliling lingkaran yang jari – jarinya sama ke sisi yang berlawanan.
Bolyai menunjukkan bahwa keliling dari sebuah segitiga yang jari – jarinya r dengan Or yang hasilnya ditulis dalam bentuk :

Anggaplah rumus berikutnya untuk luas. Dengan teorema 10.1 dan kaidah kita k = 1, luas K dari sebuah segitiga sama dengan defeknya dalam radian, seperti :

Kita akan menghitung defek ini untuk sebuah segitiga dengan sudut yang benar di C, sehingga

Teorema 10.6 :

Untuk geometri Euclidean, rumus luas K adalah K= a/2.b/2
Bukti :
Langkah – langkah utama dalam pembuktian :

Langkah 2 diperoleh dengan mengsubsitusi rumus (12) ke dalam cosh a dan cosh b dan menyelesaikan jumlah aljabar dengan menggunakan identitas trigonometri. Langkah 3 hanya menggunakan identitas cos (π/2- x)=sin⁡x = sin x
Teorema 10.7.

Bukti :
Di sini kita mendefinisikan luas A dari sebuah lingkaran menjadi limit lim┬(n→∞)⁡〖K_n 〗 dari luas K_n pada segi – n beraturan yang dituliskan. Berdasarkan gambar 10.15. dengan menggunakan teorema sebelumnya dan menulis a, K, p utnuk a_n,K_n 〖,p〗_n , K_n , p_n, kita memiliki :

Jika kita mengalikan kedua ruas dengan 4n dan menuju ke limit nn→ ∞, kita peroleh :

Dengan menggunakan lim┬(n→∞)⁡〖p_n 〗=C, lim┬(n→∞)⁡〖a_n 〗=r, kontinuitas untuk tan dan tanh, rumus tersebut menjadi :

Kemudian kita subsitusikan pada rumus (16) untuk C dari teorema 10.5. dan menggunakan identitas :

Untuk membuktikan teorema 10.7.
Dengan memperluas rumus ini dalam sebuah barisan, kita dapat melihat berapa besarnya luas lingkaran hiperbola dengan menggunakan lingkaran Euclidean dengan jari – jari yang sama :

Catatan untuk geometri Eliptik
Rumus keliling dan luas sebuah lingkaran dengan jari – jari r adalah :

Rumus bolyai valid dalam geometri eliptik (jadi benar sebuah teorema dalam geometri mutlak)

SEGI EMPAT SACCHERI DAN LAMBERT
Berikutnya kita akan mengulang segi empat Saccheri dengan alas b, panjang kaki a dan tinggi c. anda lihat di latihan 1, bab 6, bahwa c > b. sekarang kita membuatnya lebih tepat.
Teorema 10.8.

(karena 〖cosh〗^2 a=1+ 〖sinh〗^2 a >1 , hal ini menunjukkan bahwa sin⁡(c/2) > sin b/2, oleh karena itu c> b)
Bukti :
Teorema 10.8 dibuktikan dengan d = (AB’) ̅ dan θ = (∢A’AB’) dalam gambar 10.16, dengan menggunakan rumus (13) dari teorema 10.4 untuk mendapatkan “

dengan menggunakan (10) dan (11) dari teorema 10.3 untuk mendapatkan :

Dan mengeliminasi d untuk mendapatkan

A’ c B’

a d a
θ
A b B
Gambar 10.16
Sehingga diperoleh identitas

Akibat :
Dengan diberikannya segi empat Lambert, jika c adalah panjang sebuah sisi yang berdekatan dengan sudut lancip dan b adalah panjang sisi yang berlawanan, sehingga

dimana a adalah panjang sisi berdekatan lainnya dengan sudut lancip ) secara khusus, c> b).
Akibat yang ditimbulkan dari sisi empat Lambert adalah setengah dari segi empat Saccheri (lihat gambar 10.17)
Ada rumus lainnya untuk segi empat Lambert yang akan kita peroleh selanjutnya. Rumus tersebut didasarkan pada konsep segmen yang saling mengisi. Inilah konsep segmen dengan panjang x, x* dihubungkan oleh :

Makna geometri dalam persamaan ini ditunjukkan dalam gambar 10.18 dimana titik yang ke – 4 dari segi empat Lambert ideal dengan point Ω.
Jika kita menggunakan rumus (4) ke dalam rumus (7) untuk sudut yang parallel, kita peroleh :

c

a a

b
gambar 10.17

Ω

x
Π(x)

Π(x*)
\ x*
Gambar 10.18

Contoh :
sinh x* = cot Π(x*) = tan Π(x) = csch x dengan rumus (7) ; rumus (21) mengikuti rumus (18), (19) dan identitas :

Teorema 10.9 (Theorema Engel’s)
Ada segitiga yang tepat dengan parameter yang ditampilkan dalam gambar 10.19 jika dan hanya jika ada segi empat Lambert dengan parameter yang ditampilkan dalam gambar 10.20. catatan bahwa PQ adalah segmen yang saling mengisi ke segmen yang sudutnya parallel yaitu ∡.
A
α= Π(l)
c b
Π(m)= β
B a C
Gambar 10.19

R
Q r Π(a)

l^* m

P b S
Gambar 10.20
Makna geometri dari teorema Engel,’s ditampilkan dalam gambar 10.21. Termasuk konstruksi parallel J. Bolyai (gambar 10.16). Jika B = X adalah titik antara R dan S, sehingga PX ≅ QR. Teorema Engel’s mengatakan (∢BAC)r = Π((〖PQ〗^* ) ̅ ) dan karena (∢QPX)r = π/2-〖(∢BAC)〗^r , (∢QPX)^r=Π((PQ) ̅ ) dst. (PX) ⃗ adalah garis lintang sejajar ke (QR) ⃗.
Theorema Engel’s yang mengatakan bahwa panah yang berasal dari garis lintang sejajar R ke (SP) ⃗ menbuat sudut dengan (RS) ⃗ adalah kongruen ke ∢ABC dan panah yang berasal dari garis lintang sejajar dari X ke (SP) ⃗ membuat sudut dengan (XS) ⃗ adalah kongruen ke sudut lancip ∢R dari sisi empat Lambert.
Bukti :
Untuk pembuktian dimulai dengan segi empat Lambert yang digambarkan seperti dalam gambar 10.22.

R
Q
X = B

P = A S = C

Gambar 10.21

R
z Q
ϕ

w d v

θ

S u P
Gambar 10.22
dari gambar 10.22 kita peroleh :

Misalkan θ=(∢SPR)^r ,d=(PR) ̅ . Dengan teorema 10.3
sinh w = sin θ sinh d
= cos (π/2- θ) sinh d
= tanh v cosh d
= tanh v (cosh u cosh w)
sehingga ,

dan simetri dengan

Misalkan ϕ = (∢R)r. dengan aturan sinus dan teorema 10.3

Sehingga dengan (i’) dan teorema 10.3, kita memiliki

dan simetri dengan :

Sekarang misalkan x adalah titik antara R dan S, sehingga dan ingatlah segitiga yang tepat (gambar 10.21). Dengan (i’) , (ii’) dan (iii’), kita peroleh (dengan menggunakan Teorema 10.3)

Sehingga :

Dengan formula/rumus (5), (6) dan (5). Jika kita menggambarkan P sebagai A, X sebagai B dan S sebagai C, kita akan mendapatkan segitiga yang tepat yang sesuai dengan segi empat lambert seperti yang dinyatakan sebelumnya.
Sebaliknya diberikan segitiga tepat , kita bisa menemukan dengan menempatkan R sama denngan titik khusus pada sehingga Π((RS) ̅ )=(∢PXS)^r dan menenpatkan Q sama dengan kaki dari garis tegak lurus R ke garis melalui garis tegak lurus P ke .
Kesesuaian dalam teorema 10.9 memberikan barisan untuk teorema yang ada. Misalnya, dikatakan bahwa dari adanya segitiga tepat dengan parameter , kita bisa menarik kesimpulan dengan adanya segi empat Lambert dengan parameter , seperti gambar 10.20. Sekarang bacalah parameter sebelumnya, ini diberikan dalam gambar 10.23, dimana kita menarik kesimpulan dari adanya segitiga tepat yang kedua dalam gambar 10.24 dengan memiliki parameter

Gambar 10.23 Gambar 10.24
Kita bisa melanjutkan membaca parameter ini , dengan mendapatkan segi empat Lambert kedua, dan sebagainya. Kemudian kita akhiri dengan adanya segi empat Lambert kelima dan empat segitiga lainnya, diimplikasikan dengan adanya segitiga pertama. Hasilnya dirangkum dalam tabel berikut
△ABC ∢ C kiri Lambert PQR, ∢ acute

BC ∢B AB ∢A AC PQ QR ∢R RS SP
a
c
b l* c
m b
a m
l* c* m
b* a
l*
b*
c* m* b*
a* l*
c*
a*
m* b a*
l c*
m* l
b a l
c m*
Untuk catatan juga bahwa karena Teorema 10.3 memberikan rumus yang menunjukkan bagaimana segitiga yang tepat dengan khusus ditentukan oleh dua dari lima parameternya. Teorema 10.9 memberikan kita hasil yang sama untuk segi empat Lambert (contohnya, dimulai dengan u dan v, w diberikan oleh (ii), z oleh (ii’) dan dengan (iii) dalam pembuktian teorema 10.9

KOORDINAT PADA BIDANG HIPERBOLA
Pilihlah garis tegak lurus melalui pangkal O dan aturlah sistem koordinat dari salah satu diantaranya, sehingga nantinya bisa dinamakan sumbu u dan sumbu v. Untuk titik P, misalkan U dan V adalah proyeksi garis tegak lurus dari P pada sumbu-sumbu ini dan misalkan u dan v adalah masing-masing koordinat dari U dan V . Sehingga kita memperoleh segi empat Lambert UOVP. Kita menamakan sisi yang tersisa dengan koordinat w, z sehingga

Gambar 10.25
(lihat gambar 10.25). Rumus (ii) dan (ii’) dalam pembuktian teorema 10.9 menunjukkan bahwa jika berada dalam kuadran pertama (misalnya u>0 danv>0) dan . Kita menempatkan:

Selanjutnya kita namakan ( u, v) koordinat axial, (v,w) koordinat Lobachevsky, (x,y) koordinat Beltrami dan ( T, X, Y) koordinat Weierstrass dari titik P.Dua berikutnya adalah sistem koordinat yang paling penting seperti yang ditunjukkan oleh teorema panjang berikutnya

TEOREMA 10.10 (masih mengasumsikan k = 1)
Penentuan setiap titik P terhadap pasangannya (x,y) dari koordinat Beltrami akan memberikan isomorpisme bidang hiperbola kedalam model Beltrami-Klein, secara khusus Ax + By +C = 0 adalah sebuah persamaan sebuah garis koordinat Beltrami jika dan hanya jika A2 + B2 > C2, dan setipa garis memiliki sebuah persamaan. Jarak antara dua titik diberikan dalam istilah koordinat Beltrami dengan

Dimana p1 = (1,xi , yi ), produk inti p1 .p2 didefinisikan dengan

dan . Sama halnya jika Aix +Bix +Ci = 0 adalah persamaan dari 2 garis li , i = 1,2, memotong sebuah sudut yanng tidak tumpul dengan ukuran radian sehingga,

Dimana produk inti yang sekarang didefinisikan oleh

dan (secara khusus, 0 = l1.l2, adalah kondisi yang penting untuk garis-garis yang tegak lurus)
Penentuan setiap titik P terhadap rangkap tiga (T, X, Y) dari koordinat Weierstrass memetakan bidang hiperbola kedalam tempat:

Dimana satu dari dua lembar hiperbola berada dalam tiga ruang Cartesius. Persamaan sebuah garis dalam koordinat Weierstrass adalah homogen linear ( misalnya bentuk AX +BY+CT = 0)
Sebelum memberikan bukti, untuk catatan bahwa gambaran Weierstrass memberikan satu interpretasi dari bidang hiperbola sebagai sebuah “ bidang jari-jari imajiner I “. Maksudnya jika kita menggantikan bentuk kuadrat positif biasa tertentu X2 + Y2 + T2 (yang mengukur jarak yang dikuadratkan dengan asalnya)
dengan bentuk kuadrat yang tidak tertentu X2 + Y2 – T2 , sehingga bidang jari-jari I kejarak ini, memiliki persamaan

yang merupakan persamaan sebuah hiperbola. Metrik tidak tertentu ini adalah analog 3 dimensi dari metrik yang ditentukan oleh X2 + Y2 + Z2- T2 dalam ruang 4 dimensi yang digunakan untuk relativitas tertentu ( lihat Taylor dan Wheeler, 1992) Catatan bahwa ” garis-garis” dalam model Weierstrass adalah titik potong dengan lembar hiperbola pada bidang euclidean melalui pangkalnya. Untuk menggambarkan model ini, bayangkan saja satu cabang hiperbola T2 – X2 = 1 dalam bidan (T, X) mengelilingi sumbu T. Lihat gambar 7. 19
Bukti :
Bukti teorema 10.10 didasarkan pada trigonometri sisi empat Lambert yang diperoleh dari teorema sebelumnya.
Seperti grafik dalam gambar 10.13 menunjukkan, u adalah pemetaan satu- satu dari keseluruhan garis ril kedalam interval terbuka ( -1, 1). Pasangan (x, y) dari koordinat Beltrami, yakninya x + y2 ∢B’AΣ terlihat bahwa
(∢A)^r>(∢C’AΛ)^r+(∢B’AΣ)^r=Π(c/2)+Π(b/2)

Disaat bisector garis tegak lurus bertemu kita memiliki :

Karna inilah satu-satunya kemungkinan yang lain. Oleh karena itu , criteria yang kedua dibuat.
Pengambilan criteria yang pertama dalam istilah sinus hiperbola dari criteria yang kedua melibatkan sebuah kalkulasi dengan menggunakan rumus awal. Pertama dengan hukum kosinus hiperbola (13)

Kedua, dengan identitas untuk cos (x + y) dan rumus 5 dan 6 maka :

Kriteria pertama mengikuti persamaan ini setelah beberapa tahap aljabar.

Akibat Teorema.
Sebuah segitiga sama kaki yang panjang alasnya lebih pendek dari sisi-sisinya (khususnya segitiga sama sisi) memiliki sebuah lingkaran terbatas.

A

C’ B’
A’
B C

t

A Ω Σ

Gambar 10.28
Jika alas lebih panjang dari sisi-sisinya, lingkaran terbatas berupa :

dimana a adalah panjang alas dan b adalah panjang sebuah sisi. Kita tinggalkan bukti untuk latihan 10.
Teorema yang terakhir kita memberikan rumus yang menarik yang menghubungkan jari-jari lingkaran terbatas dengan luas sebuah segitiga.

Teorema 10.12
Jika segitiga ABC memiliki sebuah lingkaran terbatas dengan jari-jari R, sehingga daerah K dari segitiga ABC dinyatakan dengan

Catatan
Jika kita hanya melihat istilah dalam rangkaian perluasan sin dan tan (misalnya kita hanya melihat pada segitiga hiperbola yang sangat kecil, maka rumus ini diturunkan ke rumus euclidean yaitu :

Dalam geometri Euclidean, kita bisa menggantikan K dengan ½ bc sin A dan menyelesaikan R dalam geometri hiperbola. Latihan 28 memberikan sebuah rumus untuk R dalam istilah sisi-sisi segitiga.
Inilah sebuah bukti dari rumus Euclidean. Pilihlah B sebagai sebuah puncak, sehingga diameter BD dari lingkaran terbatas K memotong sisi AC. Kemudian ∢ D dari segitiga ABC dan ∢ A adalah BC dari K, sehingga sin A = sin D = a⁄2 R (karena ∢ BCD benar, maka ditulis dalam setengah lingkaran. Subsitusikan sin A dalam K = 1⁄2 b c sin⁡A untuk mendapatkan rumus. Bukti dari teorema 10.12 akan ditunjukkan pada latihan-latihan 20 – 28.

About vivifebriyantiwordpress

Guru SMA Negeri 1 Kamang Magek
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s